Đi từ số e tới số π

Trong bài trước tôi đã giới thiệu với các bạn mối quan hệ giữa cơ học lượng tử và số π. Các tác giả Friedmann và Hagen đã giới thiệu việc thu được số π từ phổ năng lượng của nguyên tử Hydrogen [1]. Hagen cũng chính là đồng tác giả của phát hiện ra hạt của chúa (hạt Higgs) trong một công bố trên PRL [2]. Các tác giả đã thu được biểu thức của số thông qua xấp xỉ của Wallis như sau

wallis (1)

Bản chất toán học của việc xuất hiện số π trong nghiên cứu của Friedmann và Hagen là do các tác giả đã sử dụng hàm không thứ nguyên Gamma, tính chất của hàm này là Γ(½) = √π, đo đó số π xuất hiện trong biểu thức. Một thông điệp vật lý rất đẹp trong nghiên cứu của Friedmann và Hagen đó là các quỹ đạo nguyên tử của Hydrogen là khá tròn, và càng xa hạt nhân thì càng tròn. Do đó j trong biểu thức (1) càng lớn thì số π càng chính xác. Đây cũng là lý do tại sao mô hình nguyên tử của Bohr lại rất thành công trong việc mô tả nguyên tử Hydrogen. Muốn hiểu kĩ hơn về nghiên cứu trên, các bạn có thể đọc bài blog trước của tôi về số π.

Trong toán học có một công thức tuyệt đẹp khác liên quan tới số π đó là công thức Euler eiπ=1, trong đó số e=2.718 và i2=1. Đây là công thức liên hệ giữa hai hằng số quan trọng nhất trong tự nhiên đó là số e và số π. Câu hỏi của chúng ta là dựa trên số e chúng ta có thu được số π không?

Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết thắc mắc này, phần lớn chứng minh dưới đây có thể tham khảo trong tài liệu [3]. Chúng ta sẽ bắt đầu với định nghĩa của số e như sau

Screenshot 2016-09-06 00.12.47.png(2)

Phương trình (2) có thể được viết lại như sau

Screenshot 2016-09-06 00.15.12.png(3)

Từ phương trình (3) chúng ta có

Screenshot 2016-09-06 00.15.26.png(4)

Tiếp tục biến đổi phương trình (4) chúng ta thu được

Screenshot 2016-09-06 00.15.42.png(5)

Sử dụng hàm không thứ nguyên Gamma được định nghĩa như sau Γ(n)=(n-1)! và xấp xỉ Stirling được định nghĩa như sau n!=Cn(n+1/2)e-n, trong đó hằng số C=√(2π) [4], chúng ta thu được Γ(n-1)=n!=Cn(n+1/2)e-n và Γ(n+1/2)=(n-1/2)!=C(n-1/2)ne(-n+1/2), thay vào biểu thức (5) và sử dụng tính chất của hàm Gamma zΓ(n)=Γ(n+z) chúng ta thu được

Screenshot 2016-09-06 10.14.12.png(6)

Mặt khác từ hàm Gamma chúng ta có biểu thức Legendre như sau  Γ(z)Γ(z+1/2)=22z-1√πΓ(2z) [5]. Từ đó chúng ta thu được quan hệ sau

Screenshot 2016-09-06 10.25.25.png(7)

tương tự chúng ta có

Screenshot 2016-09-06 10.25.35.png(8)

Thay (7) và (8) vào phương trình (6), cuối cùng chúng ta sẽ thu được xấp xỉ Wallis cho số π như sau

Screenshot 2016-09-06 10.25.44.png

Chứng minh trên không có nhiều ý nghĩa thực tiễn nhưng là suy nghĩ đẹp trong toán học: những con số được sinh ra từ những định nghĩa khác nhau nhưng luôn có một sợi dây nào đó liên kết giữa chúng. Giống như con người chúng ta tuy không có chung một nguồn gốc hay xuất phát điểm nhưng luôn có sự đồng cảm, tình bạn, tình yêu gắn kết chúng ta lại.

[1] T. Friedmann and C. R. Hagen, J. Math. Phys. 56, 112101 (2015).
[2] G. S. Guralnik, C. R. Hagen, and T. W. Kibble, Phys. Rev. Lett. 13, 585 (1964).
[3] A. Sanayei, arXiv:1606.07460 (2016).
[4] J.M. Patin, Amer. Math. Monthly 96, 41 (1989).
[5] http://mathworld.wolfram.com/LegendreDuplicationFormula.html

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s