Mối quan hệ giữa cơ học lượng tử và số PI (π)

Định nghĩa số PI, nguồn LiveScience.
Hình 1: Định nghĩa số PI=c/d=3.14, nguồn LiveScience.

Mọi người, chắc hẳn ai cũng biết đến số PI (π). Trong tâm trí chúng ta có lẽ đơn giản nhất khi nói về số PI là PI=3.14. Tuy nhiên đã khi nào chúng ta tự hỏi tại sao PI=3.14?

Trong toán học PI được định nghĩa là tỷ số giữa chu vi c và đường kính d của một vòng tròn bất kỳ như trong hình 1. Và bất kể vòng tròn to hay nhỏ ra sao, chúng ta đều thu được tỷ số c/d như sau và bằng một hằng số được gọi là PI. Vì vậy chu vi của một vòng tròn có đường kính 1 đơn vị sẽ bằng PI. Chúng ta chú ý rằng vòng tròn là một đường cong khép kín. Do đó để tính toán chính xác chu vi vòng tròn là không dễ dàng khi không sử dụng công cụ tích phân. Tuy nhiên có một cách tính xấp xỉ đơn giản đã được thực hiện bởi Euclid như sau: chu vi vòng tròn sẽ xấp xỉ với chu vi của hình đa giác nội tiếp bên trong vòng tròn đó. Hình 2 cho thấy diện tích của hình đa giác nội tiếp bên trong hình tròn có bán kính 1 đơn vị tiến dần về số PI=3.141… khi chúng ta tăng số cạnh đa giác từ 4 tới 200.

pi
Hình 2: PI = chu vi của vòng tròn có đường kính bằng 1. Chu vi vòng tròn xấp xỉ bằng chu vi hình đa giác nội tiếp. Với số cạnh hình đa giác càng lớn ta càng thu được số PI chính xác (nguồn từ Forbes).

Từ định nghĩa trên ta thấy PI là một số vô tỉ, nghĩa là sau dấu phẩy các con số sẽ kéo dài mãi mãi. Hiện tại Lu Chao là người đang nắm kỷ lục thế giới với khả năng nhớ được 67,890 chữ số của PI. Còn bạn, bạn có thể nhớ được bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy?

Trở lại vấn đề của số PI, nó là một hằng số cực kì quan trọng trong toán học và vật lý đến mức người ta lấy ngày 14 tháng 3 hằng năm là ngày của PI. Thay vì được biểu diễn bởi một số vô tỉ PI còn được biểu diễn bởi tỷ số đơn giản sau: PI = 27/3 = 3.14… Tuy nhiên con số này là không đủ tốt cho hầu hết các tính toán. Năm 1655, Wallis đã biểu diễn PI bởi một dãy số chính xác như sau [1]:

wallis

Có thể nói vấn đề về số PI gần như không còn gì để bàn tán vì nó được biết tới từ thế kỷ 17. Vậy điều gì kiến cho số PI trở lên đặc biệt cho tới hôm nay? Đó là cách đây vài hôm Friedmann và Hagen từ trường đại học Rochester, USA đã làm cho số PI thêm phần hấp dẫn. Họ đã tìm ra một cầu nối giữa số PI và cơ học lượng tử thông qua quang phổ của nguyên tử Hydrogen [2]. Một thông tin thú vị khác, Hagen cũng chính là một trong những người đã dự đoán sự tồn tại của hạt của chúa, hạt Higgs, hạt đại diện cho sự hiểu biết về khối lượng của vật chất mới tìm ra được gần đây.

Đầu tiên chúng ta sẽ tìm hiểu qua vấn đề cơ học lượng tử của nguyên tử Hydrogen. Các bạn có thể đã biết vấn đề này thông qua bất cứ cuốn sách giáo về cơ học lượng tử. Xuất phát từ phương trình hàm sóng Schrödinger:

phuong_trinh_ham_song

Chúng ta sẽ thu được các mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydrogen phụ thuộc vào mô men động lượng l như sau:

energyexact-h2

Ứng với mỗi một giá trị l (các ký hiệu còn lại tương ứng với các hằng số nhất định) chúng ta sẽ thu được các giá trị năng lượng khác nhau còn được gọi là mức năng lượng cơ bản. Chúng ta chú ý rằng trong cơ học lượng tử các mức năng lượng là rời rạc không liên tục. Nghĩa là đối với nguyên tử Hydrogen, một điện tử sẽ bay xung quanh một hạt nhân trên các quỹ đạo nhất định tương ứng với các mức năng lượng cơ bản cho phép như được thể hiện trong hình 2.

Hình 2: Quỹ đạo của điện tử xung quanh hạt nhân trong nguyên tử Hydrogen (nguồn PRL).
Hình 2: Quỹ đạo của điện tử xung quanh hạt nhân trong nguyên tử Hydrogen (nguồn PRL).

Mặt khác từ phương trình Schrödinger chúng ta cũng thu được toán tử Hamiltonian tương ứng với mức năng lượng cơ bản với mô men động lượng l là:

energyest-h2

Ở đây, Γ là hàm Gamma và là một hàm không thứ nguyên. Nói chung là các công thức trên không có gì là mới cả. Tuy nhiên Friedmann đã thực hiện một điều mới mà chưa bao giờ được thực hiện trước đây đó là đánh giá tỷ lệ giữa toán tử Hamiltonian và mức năng lượng cơ bản, khi đó tỷ lệ này sẽ bằng 1 nếu mô men động lượng là vô cùng theo nguyên lý tương ứng trong mô hình nguyên tử Bohr:

ratio

Áp dụng một số tính chất của hàm Gamma như sau zΓ(z)=Γ(z+1), Γ(l+1)=l!, và Γ(½) = √π chúng ta thu được biểu thức cuối cùng chứa PI như sau:

wallisprime

Cuối cùng biểu thức của Wallis thu được cho số PI xuất phát từ nguồn gốc cơ học lượng tử như sau:

PI_luongtu

Vậy là chúng ta có được liên hệ giữa cơ học lượng tử và số PI. Về ý nghĩa toán học thì theo tôi số PI là ẩn chứa trong hàm Gamma, do đó không có gì quá bất ngờ. Nhưng điều thú vị ở đây là ý nghĩa vật lý của nó, khi l lớn chúng ta sẽ thu được quỹ đạo của điện tử rất là tròn và qua đó chúng ta cũng hiểu tại sao mô hình nguyên tử Bohr lại rất thành công trong việc tính toán quang phổ của Hydrogen. Với một quỹ đạo tròn của nguyên tử cũng là nguồn gốc của sự xuất hiện số PI.

[1] J. Wallis, Arithmetica Infinitorum (Oxford, 1655).
[2] T. Friedmann and C. R. Hagen, J. Math. Phys. 56, 112101 (2015).

One comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s