Nguồn gốc của phương trình Schrödinger

Phương trình Schrödinger (nguồn: phys.org).

Như đã được biết trước đó, phương trình Schrödinger là viên gạch cơ bản nhất của cơ học lượng tử và chi phối tất cả các hiện tượng của thế giới vi mô. Tuy nhiên, bất chấp tầm quan trọng của nó, nguồn gốc về nó vẫn chưa được đánh giá cao và được hiểu chính xác. Gần đây một nhóm các nhà khoa học, dẫn đầu bởi Wolfgang P. Schleich đã tìm hiểu lại nguồn gốc của phương trình Schrödinger [1], công trình được công bố trên tập san khoa học nổi tiếng “Proceedings of the National Academy of Science (USA)”. Họ đã thu được phương trình Schrödinger từ một phép toán đồng nhất thức bởi cách tổng quát các biểu thức của cơ học thống kê cổ điển dựa trên phương trình Hamilton-Jacobi. Các tiếp cận này đã đưa ra một thực tế rõ ràng nhất là đặc trưng tuyến tính của cơ học lượng tử liên quan mật thiết đến sự móc nối mạnh mẽ giữa biên độ và pha của một sóng lượng tử. Một trích đoạn rất hay và văn thơ của các tác giả như sau: “Sự ra đời của phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian có lẽ là không khác gì sự ra đời của một dòng sông. Thông thường, khởi nguồn của nó là khó xác định được vị trí duy nhất bất chấp thực tế rằng các dấu hiệu có thể chính là dấu mốc cho sự khởi đầu. Thông thường, nhiều bọt nước và các dòng suốt hòa vào nhau sẽ bất ngờ tạo lên một dòng sông hùng vĩ. Trong trường hợp của cơ học lượng tử, các rất nhiều kết quả thực nghiệm thuyết phục rằng nhiều cuốn sách giáo khoa cơ bản đã không thực sự thúc đẩy chủ đề này (chủ đề nguồn gốc của phương trình Schrödinger). Thay vào đó, họ thường đơn giản công nhận một tiên đề của lượng tử cổ điển như sau:        

E → iħ×∂⁄∂t   (1)       và      p → ħ/i×∇   (2)

cho năng lượng E và động lượng p, trong đó ħ là hằng số Planck được chia bởi 2π và các phép toán được hiểu là dựa trên hàm sóng ψ = ψ(r, t). Lí do đưa ra ở đây là “nó hoạt động”. (it works.) Ví dụ, phương trình Schrödinger là thu được bằng cách thay hai biểu thức vào Hamiltonian cổ điển H ≡ p²/(2m) + V cho một hạt có khối lượng m như sau:

iħ×∂ψ⁄∂t = –ħ²/(2m)×∇²ψ + Vψ   (3)

Cách tiếp cận này là không thích hợp. Nhiều người trong số chúng tôi không thỏa mãn với công thức này” Điều này có thể hiểu nôm na là, năng lượng E là được thay thế bởi một đạo hàm của thời gian, và động lượng p là được thay thế với một đạo hàm của không gian. Và nếu chúng ta thế hai biểu thức này vào một toán tử Hamiltonian cổ điển của hạt chúng ta sẽ có được phương trình Schrödinger. Đó là những gì chúng ta được học, và đa số các sách giáo khoa cơ bản về lượng tử đều nói vậy (như cuốn ‘Quantum Mechanics’ của Leonard Schiff). Tuy nhiên các tác giả của bài báo cho rằng điều này là rất tệ, vì hệ quả của nó là làm cho sinh viên không biết về nguồn gốc của phương trình Schrödinger là gì. Trong một bài phỏng vấn với Phys.org [2], đồng tác giả Marlan O. Scully, giáo sư vật lý của Đại học Texas A&M giải thích các nhà vật lý có thể sử dụng phương trình Schrödinger trong suốt sự nghiệp của họ, nhưng nhiều người vẫn còn thiếu sự hiểu biết sâu sắc về phương trình này. Schrödinger đã làm một công việc anh hùng khi đưa ra được một phương trình đúng. Scully cho biết, “Làm thế nào để bạn có được một phương trình đúng, ít quan trọng hơn là việc bạn nhận được nó. Ông (Schrödinger) đã làm một công việc tuyệt vời sau đó phát sinh những hàm sóng hyđrô và nhiều hơn nữa. Bởi vậy, ông ấy hiểu được những gì ông ấy có?. Nhưng gì chúng tôi cố gắng làm là hiểu được sâu sắc hơn mối quan hệ giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử bằng cách nhìn từ những quan điểm khác nhau, và nhận được kết quả của ông ấy từ những con đường khác. Đã có nhiều con đường khác nhau để thu được phương trình Schrödinger. Một trong những cách nổi bật nhất đã được phát triển bởi Richard Feynman trong những năm 1948. Nhưng không có bất cứ phương pháp tiếp cận nào đưa ra một lời giải thích thỏa mãn một đặc trưng nổi bật của cơ học lượng tử: tính tuyến tính. Không giống tính chất phi tuyến của các phương trình cổ điển, phương trình Schrödinger là tuyến tính. Sự tuyến tính này làm cho cơ học lượng tử có những đặc trưng phi cổ điển, chẳng hạn như đặc trưng chồng chất các trạng thái. Trong bài báo của mình, các nhà khoa học đã phát triển một phương pháp mới để có thể thu được phương trình Schrödinger bắt đầu từ đồng nhất thức sử dụng cơ học thống kê cổ điển dựa trên phương trình Hamilton-Jacobi. Nói một cách dễ hiểu hơn là họ tìm cách tuyến tính hóa phương trình phi tuyến cổ điển, sau đó họ thu được một phương trình giống với phương trình Schrödinger. Điều đó nhấn mạnh rằng tính chất tuyến tính là rất quan trọng, và có thể nó là khởi nguồn cho tất cả.

[1] Wolfgang P. Schleich, et al. “Schrödinger equation revisited.” PNAS 110 (2013) 5374.
[2] http://phys.org/news/2013-04-schrodinger-equation.html